Comment savoir si une fonction est injective surjective ou bijective

Demandé Par Admin @ 07/06/22 & Vu Par 362 Personnes

Bonjour, J'ai du mal avec les notions de bijective, injective, surjective. Je sais qu'une application est bijective lorsqu'elle est à la fois surjective et injective mais je n'arrive pas à résoudre la 4ème question. Pouvez-vous m'aider ?

Answer:

On note g la fonction de R² dans R² qui à (x,y) associe (y,y-x).

Pour tout (x,y) dans R² :

f o g (x,y) = f (y,y-x) = (y-(y-x),y) = (x,y)

g o f (x,y) = g(x-y,x) = (x,x-(x-y)) = (x,y)

Donc g o f = f o g = id, donc f est bijective, de bijection réciproque g.

Par contre, tu pouvais normalement déjà le savoir grâce aux questions précédentes.

Tu as du trouver que le noyau était {0} : comme la fonction f est linéaire, cela prouve que f est injective.

Tu as du trouver que l'image était R² : comme la fonction f est linéaire, cela prouve que f est surjective.

Ainsi, f est injective et surjective, donc f est bijective :)

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